朗道力学笔记 IV

范围：第七章正则方程

朗道力学笔记 IV七、正则方程1. 哈密顿函数、罗斯函数1.1 哈密顿函数1.2 罗斯函数2. 泊松括号3. 作为坐标函数的作用量4. 莫培督原理5. 正则变换5.1 定义5.2 泊松括号的不变性5.3 特例5.3.1 点变换5.3.2 运动中的 $p,q$ 变化5.4 刘维尔定理6. 哈密顿-雅可比方程及其解法7. 浸渐不变量7.1 作用变量浸渐不变7.2 角变量

七、正则方程

1. 哈密顿函数、罗斯函数

1.1 哈密顿函数

$p,q$ 的函数：

\begin{aligned} d L (q, \dot{q}, t) & = \frac{\partial L}{\partial q} d q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} d t \\ = \dot{p} d q + p d \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} d t \end{aligned}

$p\dd \dot q=\dd(p\dot q)-\dot q\dd p$

\begin{array}{r} d L = \dot{p} d q + d (p \dot{q}) - \dot{q} d p + \frac{\partial L}{\partial t} d t \\ (7.1) & \Rightarrow d (p \dot{q} - L) = \dot{q} d p - \dot{p} d q - \frac{\partial L}{\partial t} d t \end{array}

令

\begin{matrix} (7.2) & H (q, p, t) = p \dot{q} - L \end{matrix}

$H$ $q,p,t$ 的函数。 $\dot q$ $p,q,t$ 表示。

由(7.1)易得：

\begin{matrix} (7.3) & \begin{matrix} \frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q} \\ \frac{\partial H}{\partial q} = - \dot{p} \end{matrix} \end{matrix}

这两条方程即哈密顿方程拉格朗日方程 $2n$ $n$ 个二阶方程，它们是等价的。）

由(7.1)(7.2)(7.3)又有

\begin{aligned} \frac{d H}{d t} & = \frac{\partial H}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial H}{\partial p} \dot{p} + \frac{\partial H}{\partial t} \\ = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} + \frac{\partial H}{\partial t} \\ (7.4) & \Rightarrow \frac{d H}{d t} & = \frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t} \end{aligned}

$L$ $t$ $H={\rm Const.}$ $H$ 式(2.1) $H=E$ 。

1.2 罗斯函数

$\dot q$ $p$ 罗斯函数 $L(q_1,q_2;\dot q_1,\dot q_2;t)\to R(q_1,q_2;p_1,\dot q_2;t)$ （这里忽略了事件的偏微分，并不影响）

\begin{aligned} d L & = \frac{\partial L}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial L}{\partial q_{2}} d q_{2} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} d {\dot{q}}_{1} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{2}} d {\dot{q}}_{2} \\ = \frac{\partial L}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial L}{\partial q_{2}} d q_{2} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{2}} d {\dot{q}}_{2} + d (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} {\dot{q}}_{1}) - {\dot{q}}_{1} d \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} \end{aligned}

类似哈密顿函数，可以得到

\begin{matrix} (7.5) & \begin{matrix} d R = d (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} {\dot{q}}_{1} - L) \\ = - \frac{\partial L}{\partial q_{1}} d q_{1} - \frac{\partial L}{\partial q_{2}} d q_{2} - \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{2}} d {\dot{q}}_{2} + {\dot{q}}_{1} d \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} \\ = {\dot{q}}_{1} d p_{1} - p_{2} d {\dot{q}}_{2} - {\dot{p}}_{1} d q_{1} - {\dot{p}}_{2} d q_{2} \end{matrix} \end{matrix}

于是得到了

\begin{matrix} (7.6) & R (q_{1}, q_{2}; p_{1}, {\dot{q}}_{2}; t) = p_{1} {\dot{q}}_{1} - L \end{matrix}

$q$ $p$ $0=\dot p=-\part H/\part q$ $q$ 。罗斯函数同理。

$R(q_1,q_2;p_1,\dot q_2)$ $q_1$ $p_1$ $q_2$ 的拉格朗日方程。

2. 泊松括号

$f,g$ $p,q,t$ 的函数，定义运算

\begin{matrix} (7.7) & {f, g} = \sum_{k} (\frac{\partial f}{\partial p_{k}} \frac{\partial g}{\partial q_{k}} - \frac{\partial g}{\partial p_{k}} \frac{\partial f}{\partial q_{k}}) \end{matrix}

该运算即为泊松括号。该运算有如下规律：

\begin{matrix} (7.8(1 \tilde{} 6)) & \begin{matrix} {f, g} = - {g, f} \\ {f, C o n s t .} = 0 \\ {f_{1} + f_{2}, g} = {f_{1}, g} + {f_{2}, g} \\ {f_{1} f_{2}, g} = f_{1} {f_{2}, g} + f_{2} {f_{1}, g} \\ \frac{\partial}{\partial t} {f, g} = {\frac{\partial f}{\partial t}, g} + {f, \frac{\partial g}{\partial t}} \\ {f, q_{k}} = \frac{\partial f}{\partial p_{k}} {f, p_{k}} = - \frac{\partial f}{\partial q_{k}} \end{matrix} \end{matrix}

以及雅可比恒等式：

\begin{matrix} (7.9) & {f, {g, h}} + {h, {f, g}} + {g, {h, f}} = 0 \end{matrix}

该式的证明：只要把它们全打开，就能消掉。

泊松定理：两个运动积分构成的泊松括号也是运动积分。以下为其证明：

$f(q,p,t)$

\begin{matrix} (7.10) & \frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{k} (\frac{\partial f}{\partial q_{k}} {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial f}{\partial p_{k}} {\dot{p}}_{k}) = \frac{\partial f}{\partial t} + {H, f} \end{matrix}

$f$ $f=\const$ 。 $f$ 不显含时间的，但不知道为什么没有。

\begin{matrix} (7.11) & 0 = \frac{d f}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + {H, f} \end{matrix}

$f,g$ $\{f,g\}$ 为运动积分转化为证明式(7.11)

\begin{aligned} \frac{d {f, g}}{d t} & = \frac{\partial {f, g}}{\partial t} + {H, {f, g}} \\ = {\frac{\partial f}{\partial t}, g} + {f, \frac{\partial g}{\partial t}} - {g, {H, f}} - {f, {g, H}} \\ = {\frac{\partial f}{\partial t}, g} + {{H, f}, g} + {f, \frac{\partial g}{\partial t}} + {f, {H, g}} \\ = {\frac{\partial f}{\partial t} + {H, f}, g} + {f, \frac{\partial g}{\partial t} + {H, g}} \\ = {0, g} + {f, 0} \\ = 0 \end{aligned}

QED

泊松括号与量子力学里面的两个算符的交换[A,B]似乎有着一定的联系，这样的联系到底是什么？

3. 作为坐标函数的作用量

根据式(1.2)，系统的作用量为

\begin{matrix} (7.12) & S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L d t \end{matrix}

$t_1$ $q(t_1)$ $\left(t_2,q(t_2)\right)$ 都存在至少一个运动过程是能够真实发生的。 $n$ $n$ $2n$ $q(t_1), q(t_2)$ 。故任意初末态均能有至少一个运动过程。记

S = S (q (t_{2}), t_{2})

为真实发生的作用量。根据拉格朗日方程，其变分为：

δ S = \sum_{i} ({\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} δ q_{i} |}_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}} (\frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) δ q_{i} d t)

$q(t)$ $q(t)+\delta q(t)$ $q(t_1)$ $\delta q(t_1)=0$ $\delta q(t_2)=\delta q$ ，则

\begin{matrix} (7.13) & \begin{matrix} δ S = \sum_{i} p_{i} δ q_{i} \\ \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial q_{i}} = p_{i} \end{matrix} \end{matrix}

又由定义(7.12)

L = \frac{d S}{d t} = \sum_{i} \frac{\partial S}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial S}{\partial t}

$t$ $t_2$ 。得

\begin{matrix} (7.14) & \frac{\partial S}{\partial t} = L - \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} = - H \end{matrix}

结合(7.13)、(7.14)得到

\begin{matrix} (7.15) & d S = \sum_{i} p_{i} d q_{i} - H d t \end{matrix}

对于虚运动（非真实运动），(7.15)也是成立的。这可以从以下两个角度说明：

直接从（虚）作用量的定义得到：
$d S = L d t = (\sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} - H) d t = \sum_{i} p_{i} d q_{i} - H d t$
虚运动可以看作很多段真实运动的依次发生，只不过相邻两实运动之间在真实情况中不能相接。比如说无外场空间中自由粒子的真实运动为运输直线运动。某个虚的曲线运动（和/或变速运动）可以看作很多段匀速直线小运动的一词发生，只不过相接处发生了转折（和/或变速）。

故最小作用量原理可以写成

\begin{aligned} δ S & = δ \int (\sum_{i} p_{i} d q_{i} - H d t) \\ = \int (δ p d q + p d δ q - \frac{\partial H}{\partial q} δ q d t - \frac{\partial H}{\partial p} δ p d t) \\ = \int δ p (d q - \frac{\partial H}{\partial p} d t) - \int δ q (d p + \frac{\partial H}{\partial q} d t) + {p δ q |}_{(1)}^{(2)} \end{aligned}

这里可以直接得到哈密顿正则方程(7.3)。

4. 莫培督原理

不太会

5. 正则变换

5.1 定义

$P(p,q,t),Q(p,q,t),H'(P,Q,t)$ $p,q,H(p,q,t)$ $\dot Q={\part H'\over \part P}, \dot P=-{\part H'\over \part Q}$ ，则可以用这个新的系统完全代替旧的系统，且保持各种力学关系方程不变。正则变换是这种变换中的一类。下面是正则变换推导过程。

$p,q,H$ 满足关系：

δ S = δ \int (\sum_{i} p_{i} d q_{i} - H d t) = 0

$P,Q,H'$ 满足哈密顿正则方程，故也满足关系：

δ \int (\sum_{i} P_{i} d Q_{i} - H^{'} d t) = 0

类似于式(1.3)，为保证上述两个关系成立，它们只能差一动量、位置、时间的函数的全微分，即

\begin{matrix} (7.16) & \sum_{i} P_{i} d Q_{i} - H^{'} d t + d F = \sum_{i} p_{i} d q_{i} - H d t \end{matrix}

$F$ 母函数 $F$ 即可定义一个正则变换。改写式(7.16)可得

\begin{matrix} (7.17) & d F = \sum_{i} p_{i} d q_{i} - \sum_{i} P_{i} d Q_{i} + (H^{'} - H) d t \end{matrix}

$F$ $q,Q,t$ 的函数，满足

\begin{matrix} (7.18) & \frac{\partial F}{\partial q_{i}} = p_{i}, \frac{\partial F}{\partial Q_{i}} = - P_{i}, \frac{\partial F}{\partial t} = H^{'} - H \end{matrix}

$q,P$ $\Phi(q,P,t)=F+\sum_iP_iQ_i$ 满足

p_{i} = \frac{\partial Φ}{\partial q_{i}}, Q_{i} = \frac{\partial Φ}{\partial P_{i}}, H^{'} - H = \frac{\partial Φ}{\partial t}

5.2 泊松括号的不变性

泊松括号对正则变换不变，即

\begin{matrix} (7.19) & {f, g}_{p, q} = {f, g}_{P, Q} \end{matrix}

$t$ $f,g,P,Q$ $t$ $f,g,P,Q$ $t$ $g$ $p,q$ 系统的哈密顿量(这里比较奇怪的是是否 g 总是能看作一个哈密顿量)，由(7.11)得到

{f, g}_{p, q} = - \frac{d f}{d t}

$P,Q$ $t$ $t$ $P,Q$ $g$ 。则

{f, g}_{P, Q} = - \frac{d f}{d t}

故两者相等。QED

5.3 特例

5.3.1 点变换

$q_i$ $Q_i(q,t)$ $Q_i$ $P_i$ 点变换 $P,Q$ 系统仍满足哈密顿正则方程(7.3)，故是为正则变换。如直角坐标系下的系统变换到极坐标系中。或者从一个惯性参考系变换到匀加速参考系。

$q,P$ 表示为

\begin{matrix} (7.20) & Φ (q, P, t) = \sum_{i} Q_{i} (q, t) P_{i} \end{matrix}

$p,q$ 变化

$p,q$ $(p,q)=(p(t),q(t))$ $(P,Q)=(p(t+\tau),q(t+\tau))$ $\tau$ $(p,q)\to(P,Q)$ $S$ ，由式(7.15)得

\begin{matrix} (7.21) & d S (p, Q, t) = \sum (P d Q - p d q) - (H^{'} - H) d t \end{matrix}

$q,Q$ 表示的母函数

F = - S

$(p,q)\to(P,Q)$ 变换的母函数。

5.4 刘维尔定理

$\hat p_i,\hat q_i$ 相空间 $\dd \Gamma=\dd q_1...\dd q_s\dd p_1...\dd p_s$ $\hat P_i,\hat Q_i$ 相空间中，体积不变。

$p,q$ $P,Q$ 的变换，其雅可比行列式

D = \frac{\partial (Q_{1}, . . . Q_{s}, P_{1}, . . . P_{s})}{\partial (q_{1}, . . . q_{s}, p_{1}, . . . p_{s})} = 1

$(q,p)\to (q,P)\to (Q,P)$ ，即

D = \frac{\frac{\partial (Q_{1}, . . . Q_{s}, P_{1}, . . . P_{s})}{\partial (q_{1}, . . . q_{s}, P_{1}, . . . P_{s})}}{\frac{\partial (q_{1}, . . . q_{s}, p_{1}, . . . p_{s})}{\partial (q_{1}, . . . q_{s}, P_{1}, . . . P_{s})}}

其中

\begin{aligned} \frac{\partial (Q_{1}, . . . Q_{s}, P_{1}, . . . P_{s})}{\partial (q_{1}, . . . q_{s}, P_{1}, . . . P_{s})} = & | \begin{array}{cc} D_{q} Q & D_{P} Q \\ D_{q} P & D_{P} P \end{array} | \\ = & | \begin{array}{cc} D_{q} Q & D_{P} Q \\ 0 & I \end{array} | \\ = & det D_{q} Q \end{aligned}

同理

\frac{\partial (q_{1}, . . . q_{s}, p_{1}, . . . p_{s})}{\partial (q_{1}, . . . q_{s}, P_{1}, . . . P_{s})} = det D_{P} p

$\mathbf{D}_qQ$ $i$ $j$ ${\part Q_i\over \part q_j}={\part^2 \Phi\over \part P_i\part q_j}$ $\mathbf{D}_Pp$ $j$ $i$ ${\part p_j\over \part P_i}={\part^2 \Phi\over \part P_i\part q_j}$ $\det\mathbf{D}_qQ=\det\mathbf{D}_Pp$ 。QED

$p,q$ 变化可以看作是正则变换，故相空间的中一块在运动中的体积保持不变。此即为刘维尔定理。

6. 哈密顿-雅可比方程及其解法

由式(7.15)可知

\frac{\partial S}{\partial t} = - H

$H$ $q,p={\part S\over \part q},t$ 的函数，得到哈密顿-雅可比方程

\begin{matrix} (7.22) & \frac{\partial S}{\partial t} + H (q, \frac{\partial S}{\partial q}, t) = 0 \end{matrix}

$q$ $t$ 的关系，即得到系统的运动方程，具体过程如下：

$S$ $s+1$ $S$ $\alpha,A$ 为待定常数）
$\begin{matrix} (7.23) & S = f (q_{1}, . . ., q_{s}; t; α_{1}, . . ., α_{s}) + A \end{matrix}$
$\alpha_1,...$ $\beta_1,...,\beta_s$ $f$ 为母函数进行正则变换。有
$p = \frac{\partial S}{\partial q} = \frac{\partial f}{\partial q}, β = \frac{\partial f}{\partial α}, H^{'} = H + \frac{\partial f}{\partial t} = 0$
$\alpha,\beta$ 系统中有
$\begin{matrix} \dot{β} = \frac{\partial H^{'}}{\partial α} = 0, \dot{α} = - \frac{\partial H^{'}}{\partial β} = 0 \\ \Rightarrow α = C o n s t . β = C o n s t . \end{matrix}$
$s$ $\beta={\part f\over \part \alpha}$ $\alpha,\beta$ $q$ $s$ $q(t)$ 。

$S$ 通解的分离变量法。

方程(7.22)可以被写成

Ψ (q, t, \frac{\partial S}{\partial q}, \frac{\partial S}{\partial t}) = 0

$\Phi$ $S$ ，这使得之后的方法能够推进。 $q_1,{\part S\over \part q_1}$ $\varphi\left(q_1,{\part S\over \part q_1}\right)$ 的形式出现，则可改写方程为

Φ (q_{i}, t, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}, \frac{\partial S}{\partial t}, φ (q_{1}, \frac{\partial S}{\partial q_{1}})) = 0

$i\neq 1$ 。反解上面的方程，可得

ψ (q_{i}, t, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}, \frac{\partial S}{\partial t}) = φ (q_{1}, \frac{\partial S}{\partial q_{1}})

$\psi=\varphi=\alpha_1=\const$ $S=S'(q_i,t)+S_1(q_1,t)$ ，从而有

\begin{matrix} φ (q_{1}, \frac{\partial S}{\partial q_{1}}) = α_{1} \\ Φ (q_{i}, t, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}, \frac{\partial S}{\partial t}, α_{1}) = 0 \end{matrix}

这样就达到了消元的目的。

$\Psi$ $\Phi\left(q,t,{\part^2 \ln \Psi\over \part q^2},{\part \ln \Psi\over \part t}\right)$ $\Psi$ $\varphi\psi$ 。

7. 浸渐不变量

7.1 作用变量浸渐不变

$\lambda$ $\lambda$ 浸渐 $T$ ，有

T \frac{d λ}{d t} ≪ λ

$\lambda$ $E$ $\overline{\dot E}\propto \dot \lambda$ ，故这两者可以组成不变的常数，称之为浸渐不变量。

$H(p,q,\lambda(t))$ 为系统的哈密顿量。由方程(7.4)得

\begin{matrix} (7.24) & \begin{matrix} \dot{E} = \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial λ} \dot{λ} \\ \Rightarrow \overset{―}{\dot{E}} = \overset{―}{\frac{\partial H}{\partial λ}} \dot{λ} \end{matrix} \end{matrix}

其中

\begin{aligned} \overset{―}{\frac{\partial H}{\partial λ}} & = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{\partial H}{\partial λ} d t \\ = \frac{1}{T} \oint \frac{\partial H}{\partial λ} \frac{d q}{\partial H / \partial p} \\ (7.25) & = \frac{\oint \frac{\partial H}{\partial λ} \frac{d q}{\partial H / \partial p}}{\oint \frac{d q}{\partial H / \partial p}} \end{aligned}

$p,q$ $E,\lambda$ $E$ 就是其平均值 $q$ $q,E,\lambda$ 的函数，有

\begin{matrix} (7.26) & \begin{matrix} H (p (q, E, λ), q, λ) = E \\ \Rightarrow \frac{\partial H}{\partial λ} + \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial λ} = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial p}{\partial E} = 1 \end{matrix} \end{matrix}

将(7.24)(7.25)(7.26)结合，得到

\begin{array}{r} \overset{―}{\frac{\partial H}{\partial λ}} = \frac{\oint \frac{\partial H}{\partial λ} \frac{d q}{\partial H / \partial p}}{\oint \frac{d q}{\partial H / \partial p}} = \frac{- \oint \frac{\partial p}{\partial λ} d q}{\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q} \\ \Rightarrow \overset{―}{\dot{E}} = \overset{―}{\frac{\partial H}{\partial λ}} \dot{λ} = - \frac{\oint \frac{\partial p}{\partial λ} d q}{\oint \frac{\partial p}{\partial E} d q} \dot{λ} \\ (7.27) & \Rightarrow \oint (\frac{\partial p}{\partial E} \overset{―}{\dot{E}} + \frac{\partial p}{\partial λ} \dot{λ}) d q = 0 \end{array}

作用变量 $I=I(\overline E,\lambda)={1\over 2\pi}\oint p\dd q\big|_{E=\overline E}$ ，则有

\begin{aligned} \dot{I} & = \frac{1}{2 π} \oint (\frac{\partial p}{\partial E} \dot{\overset{―}{E}} + \frac{\partial p}{\partial λ} \dot{λ}) d q \\ = \frac{1}{2 π} \oint (\frac{\partial p}{\partial E} \overset{―}{\dot{E}} + \frac{\partial p}{\partial λ} \dot{λ}) d q \\ = 0 \end{aligned}

得到浸渐不变量

I = C o n s t .

这里的考虑是：凡是有关于周期（环路积分）的物理量，它的参数能量都应该带上拔。不知道这样的考虑是否正确。

7.2 角变量

$\lambda$ $I$ $S_0$ 为母函数。

S_{0} (q, \bar{E}, λ) = \int_{q_{0}}^{q} p (q, \bar{E}, λ) d q

$\mathbb{q}$ $q$ $q_0$ $I$ $I$ $\lambda$ $I=I(\overline E)$ $\overline E$ $I$ $S_0=S_0(q,I,\lambda)$ $\part S_0(q,E,\lambda)/\part q=\part S_0(q,I,\lambda)/\part q=p$ $I$ 角变量 $w$

\begin{matrix} (7.28) & w = \frac{\partial S_{0} (q, I, λ)}{\partial I} \end{matrix}

$S_0$ $H'=H=\bar E(I)$ ，故

\begin{matrix} (7.29) & \dot{I} = 0, \dot{w} = \frac{d \bar{E} (I)}{d I} \end{matrix}

$I$ $w$ $I={1\over 2\pi}\oint p\dd q\big|_{E=\overline E}$ $S_0$ $\Delta S_0=2\pi I$ $w$ $\Delta w=\Delta{\part S_0\over \part I}={\part \Delta S_0\over \part I}=2\pi$ 。

$\lambda=\lambda(t)$ 随时间变化时，仍做上述正则变换。( $S_0$ 已经不再是有物理意义的简约作用量了。 )此时有

\begin{matrix} (7.30) & H^{'} = E (I, λ) + \frac{\partial S_{0} (q, I, λ (t))}{\partial t} = E (I, λ) + Λ \dot{λ} \end{matrix}

$\Lambda={\part S_0(q,I,\lambda)\over \part \lambda}$ 。得到

\dot{I} = - \frac{\partial H^{'}}{\partial w} = -